特征值与特征向量

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 与非零向量 $v$，使得

则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是对应的特征向量。几何上，矩阵作用于特征向量只改变长度，不改变方向——这就是「特征」的含义：变化中不变的部分。

求特征值归结为特征多项式的零点：

以对角矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 为例，$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(3-\lambda)$，故特征值为 $\lambda_1 = 2$、$\lambda_2 = 3$，标准基向量就是对应的特征向量。

谱定理告诉我们：实对称矩阵总可以对角化，$A = Q \Lambda Q^{\top}$，其中 $Q$ 的列是一组正交的特征向量。这是主成分分析（PCA）与二次型分类的数学基础。